Родился Павел Николаевич, по-видимому, в начале XX века (точная дата в доступных источниках не указана). Его путь в авиацию начался с получения образования: в 1925 году он окончил трудовую школу в Краснодаре, а затем стал курсантом Военно-морского училища имени М.В. Фрунзе. В 1929 году Лемешко окончил школу морских лётчиков, а в 1935 году — престижную Качинскую школу пилотов, что сделало его высококлассным специалистом морской авиации.
Ключевой этап его карьеры связан с Тихоокеанским флотом (ТОФ). С мая 1939 по ноябрь 1944 года и затем с января 1945 по февраль 1946 года он занимал пост командующего Военно-воздушными силами ТОФ. В этой должности он встретил Великую Отечественную войну и руководил авиацией флота в годы войны, когда основными задачами были оборона дальневосточных рубежей и подготовка к возможному конфликту с Японией. В августе 1945 года, уже в звании генерал-лейтенанта авиации, Лемешко принял непосредственное участие в советско-японской войне, командуя авиацией ТОФ в ходе Маньчжурской стратегической операции. Под его руководством авиаторы-тихоокеанцы наносили удары по военно-морским базам и аэродромам противника в Северной Корее и на Южном Сахалине, внося вклад в разгром Квантунской армии.
О высоком уровне ответственности, возлагавшемся на командующего ВВС ТОФ, свидетельствует директива Главного политического управления ВМФ от 9 ноября 1944 года, адресованная лично генерал-лейтенанту авиации Лемешко и начальнику политотдела ВВС ТОФ. Документ, выявленный в Центральном военно-морском архиве, касался недостатков в работе флотской газеты «Тихоокеанский сокол». Сам факт подобного обращения к командующему авиацией флота говорит о его ключевой роли в организации всей жизни и боевой учёбы лётчиков ТОФ.
После войны П.Н. Лемешко продолжил службу на высоких командных должностях. С 1946 по 1947 год он командовал авиацией Черноморского флота, а затем до 1950 года — всей авиацией Военно-Морского Флота СССР. В 1952 году, уже в зрелом возрасте, он окончил Военную академию Генерального штаба, что свидетельствует о его стремлении к постоянному профессиональному росту. В 1969 году генерал-лейтенант авиации П.Н. Лемешко вышел в отставку. Его имя навсегда вписано в историю отечественной морской авиации как одного из её выдающихся организаторов и руководителей.