Родился Иван Иванович в 1896 году в Рассветаевском починке (также называемом Головин починок) Водозерской волости (ныне Лесниковское сельское поселение Советского района Кировской области). Окончил Кукарское городское училище в 1912 году, а в 1914-м — лесное училище, после чего почти год прослужил в лесничестве в Кильмези. В 1915 году был призван в армию, прошёл обучение в Саратовской школе прапорщиков, а в 1917 году окончил офицерскую воздухоплавательную школу в Петрограде.
Весной 1918 года Зыков был демобилизован, но уже осенью вернулся на службу — и до последних дней своей жизни оставался в рядах Советской Армии, будучи неизменно связанным с авиацией. В годы Гражданской войны он командовал воздухоплавательным отрядом Вятского дивизиона, затем воевал в воздухоплавательных отрядах Волжско-Каспийской флотилии и Одесского укреплённого района. Позднее Иван Иванович Зыков стал старшим инструктором Высшей воздухоплавательной школы в Ленинграде, а затем командиром воздухоплавательного отряда в Воронеже.
1 мая 1927 года Зыков вместе с аэронавтом Виктором Александровичем Семеновым совершил свободный полёт на аэростате ёмкостью 1600 кубических метров. Шар, наполненный водородом, стартовал с базы аэростатов, Кунцево, под Москвой. Задачей полёта было исследование облаков и воздушных течений в малоизученных северо-восточных районах страны.
Вершиной карьеры аэронавта Зыкова стал знаменитый полёт в сентябре 1935 года. 3 сентября из Москвы в Актюбинскую область стартовали два сферических аэростата. В гондоле одного из них находились Иван Зыков и Александр Тропин. Они пробыли в воздухе 91 час 35 минут, покрыв около 2200 километров пути и приземлившись в верховьях реки Тургай в Актюбинской области. Этот результат побил мировой рекорд продолжительности полёта на аэростате, о чем писала тогда советская пресса. За этот подвиг И.И. Зыков был награждён орденом Красной Звезды.
С началом Великой Отечественной войны Иван Иванович ушёл на фронт. Он командовал 1-м воздушным дивизионом аэростатов наблюдения. Воспоминания сослуживцев рисуют его как одного из самых опытных воздухоплавателей, участвовавших в защите Ленинграда. За боевые заслуги Иван Зыков был награждён орденами Красного Знамени и Отечественной войны 1-й степени, получил звание подполковника.
Жизнь Ивана Ивановича Зыкова оборвалась в послевоенные годы. Умер И.И. Зыков 19 марта 1945 года от туберкулеза и был похоронен на старом кладбище посёлка Решетиха Нижегородской области. Его имя навсегда вписано в историю отечественного воздухоплавания.