Родился 23 февраля 1896 года в городе Алатырь Симбирской губернии в семье железнодорожного машиниста. Окончил Алатырское реальное училище (1913), затем учился на механическом факультете Московского высшего технического училища (1913–1915). В 1915 году поступил на теоретические курсы авиации, а в 1916 году окончил Севастопольскую авиационную школу. Затем был направлен в школу морской авиации в Петрограде, которая вскоре была переведена в Баку. В июле 1917 года Базенков окончил Бакинскую офицерскую школу морской авиации и был направлен лётчиком в 5-й авиаотряд 2-го воздушного дивизиона Черноморского флота в Севастополь.
С декабря 1917 года он служил инструктором воздушного боя в Бакинской школе морской авиации. Летом и осенью 1918 года Базенков был лётчиком Каспийского воздушного дивизиона, воевал против турок, затем до июля 1919 года работал в Баку техником-чертёжником в обществе «Электросила». В июле 1919 года был мобилизован в Белую армию, в которой служил до февраля 1920 года.
В марте 1920 года Борис Базенков перешёл на сторону Красной Армии. Пройдя контроль Особого отдела 11-й армии, в мае 1920 года был назначен лётчиком 2-го гидроавиаотряда Волжско-Каспийской военной флотилии и участвовал в боевых действиях против войск Врангеля. После Гражданской войны продолжил службу в авиации: с мая 1921 по август 1924 года — командир гидроавиаотряда в Туапсе и начальник Центральной гидроавиабазы в Севастополе; с августа 1924 года — помощник начальника отдела морской авиации штаба ВВС РККА; с 1925 по 1930 год — на ответственных должностях в Управлении снабжения ВВС. В 1930–1931 годах — начальник штаба ВВС Балтийского флота, затем командир и комиссар 9-й и 106-й тяжёлых морских авиабригад. С июля 1934 года — заместитель начальника, а с января 1936 года — начальник Управления материально-технического снабжения ВВС РККА. В 1936 году награждён орденом Ленина. В 1937 году ему было присвоено воинское звание «комдив».
Трагический финал наступил 9 ноября 1937 года, когда Базенков был арестован органами НКВД. Согласно историческим документам, его имя фигурировало в показаниях арестованного директора авиамоторного завода № 19 И.И. Побережского, который утверждал, что нелегальная антисоветская организация в авиационной промышленности поддерживала контакт с подобной организацией в УВВС через Алксниса и Базенкова. На основании этих показаний 29 июля 1938 года Военная коллегия Верховного Суда СССР приговорила комдива Базенкова к высшей мере наказания — расстрелу. Приговор был приведён в исполнение в тот же день в посёлке Коммунарка Московской области.
Определением Военной коллегии от 14 марта 1956 года Борис Ильич Базенков был полностью реабилитирован «за отсутствием состава преступления». Его судьба — это яркий пример трагедии многих талантливых военных и хозяйственных руководителей, ставших жертвами политических репрессий конца 1930-х годов. Стоит отметить, что его брат, Николай Ильич Базенков, стал известным авиаконструктором, Героем Социалистического Труда.